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球冠體積球冠體積計算公式例題

仙桃市
常州市
2025-07-05 07:20:19
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很多朋友想了解關於乒乓球的一些資料信息，下麵是(揚升資訊www.balincan8.com)小編整理的與乒乓球相關的內容分享給大家，一起來看看吧。

本帖係筆者原創作品，於2018年3月發表在“乒乓網”《乒乓球物理參數的數量級估算》。現進行了部分補充、修改，重新發表，供球友參考。筆者把能找到的公式都找了，會算的都算了一下。計算過程盡量詳細以方便球友，其中錯漏應該不會少。發出來和球友討論，請各位老師、專家批評。

球冠體積球冠體積計算公式例題

感興趣的球友可以把計算結果和推論跟自己的打球實踐對照一下，看看有哪些與實際相符，哪些與經驗相悖。不管怎麽說，對自己熱愛的乒乓球運動做到心中有數，多少還是有點好處的。

歡迎批評、指正。

1 基礎數據

（1）球拍

球拍質量 200克，

底板長 16cm,寬 15cm，厚 6-10mm，麵積約 16*15 = 240cm^2

套膠雙麵反膠，每麵海綿、膠皮各厚2毫米

（2）乒乓球 40+

質量 m = 2.7 g,

直徑 D = 40 mm,

半徑 r = 20 mm,

轉動慣量（球殼）

I = 2/3* mr^2= 2/3*0.0027*0.02*0.02 = 0.00000072 kgm^2

球殼圓周長 = 2pi*r = 2*3.14*0.02 = 0.1256m = 12.56cm

最大圓截麵積 S = ^2 = 3.14*0.02*0.02 = 0.001256m^2 = 12.56cm^2

球表麵積 S = 42 = 4*3.14*0.02*0.02 = 0.005024m^2 = 50.24cm^2

球冠麵積S=2h， S =r^2+h^2)。

（球半徑是 R，球冠底麵圓的半徑是 r，球冠的高是 h）

球體積 V = 4/3*^3 = 4/3*3.14*0.02^3 = 0.0000335 m^3 = 33.5 cm^3

密度  m/V = 0.0027/0.0000335 = 80.6 kg/m^3

(對比密度水 1000 kg/m^3 ，空氣 1.29 kg/m^3 )

乒乓球與球拍質量比為1.35% ,若加上握拍手的部分質量，此比當在1%以下。

2 假設擊球條件為：

球拍：拍速15米每秒，拍型前傾60度，揮拍方向45度，二者夾角15度。

來球：球速16米，上旋轉80轉每秒。水平方向0度（最高點擊球）

出球：球速20米，上旋轉100轉每秒，30度。

擊球時間1毫秒

擊球者基礎力量（臥推力）

王勵勤130公斤，一般運動員70公斤，普通人60公斤以下

3 作用在乒乓球上各種力的估算

(1) 重力（方向向下）

G = mg = 0.0027*10 = 0.027牛 = 0.027 kgm/s^2

(2) 空氣浮力（方向向上）

f = V = 1.29*10 *(4/3*3.14*0.02^3 ) = 0.000432 牛

以上兩個是恒力，方向相反，重力約為浮力的63倍,浮力相當於抵消了1/63的重力。

(3) 空氣阻力（方向與球速反向）假設球飛行速度20m

fd = 1/2*Cdv^2

= 0.5*0.5*1.29*(3.14*0.02*0.02)*20*20 = 0.162 N

（Cd為空氣阻力係數，與空氣流的雷諾數 Re=D/š„大小相關。空氣動力粘滯係數–值1.85 *10^-5Pas。

Re =D/ 1.29*20*0.04/(1.85 *10-5) = 55784）

(4) 空氣的瑪格努斯力（方向與球速垂直）假設球飛行速度20m , 轉速100r

fm = 1/2*Cl*Av^2 = 1/2*Cs**r

= 1/2*Cs*(pi*r^2)*r*(2pi*f)*v

= 0.5*1.23*1.29*(3.14*0.02*0.02*0.02)*( 2*3.14*100)*20 = 0.25 N

(5) 球拍擊球力（方向在出球方向與摩擦方向之間）

約為100牛頓數量級。

以上數據表明：

乒乓球所受重力約為擊球力的萬分之三，浮力為百萬分之四。空氣阻力與瑪格努斯力約為擊球力的千分之二。

所以，在擊球瞬間，以上四個力都可以忽略而不會引起太大誤差。而在乒乓球飛行途中的受力分析中，擊球力已經不存在了，重力、空氣阻力、瑪格努斯力三者都上升為主要因素，不可忽略（如果要考慮浮力，可以從重力中扣除1/63，相當於重力加速度G從9.8降為9.64。）。與球速反向的空氣阻力受球速影響最大，橫向的瑪格努斯力和球速、轉速都有密切關係。相較方向、大小不變的重力而言，後兩種空氣作用力特別複雜多變,是影響乒乓球飛行軌跡預測的難點和重點所在。據說還有一種可能的“逆瑪格努斯力”值得注意。即球在臨界速度前後，邊界層氣流的非對稱分布，可能導致球飛行時左右晃動、軌跡搖擺不定的“飄球”產生。

3 乒乓球飛行過程數據

（1）平動數據（假設出球球速20米）

飛行速度 20米每秒

動量 P = mv = 0.0027*20 = 0.054 kgm/s(Ns)

動能 Ek= 1/2*mv^2 = 0.5*0.0027*20*20 = 0.54 J

（2）轉動數據（假設出球轉速100轉）

旋轉轉速或頻率(轉每秒)f = 100 r/s

旋轉角速度(弧度每秒)

 2 = 2*3.14*100 = 628 rad/s

旋轉線速度

v = =628*0.02 = 12.56m/s

乒乓球轉動慣量（球殼）

I = 2/3*mr^2 =2/3*0.0027*0.02*0.02 = 0.00000072 kgm^2

角動量

L = I = 0.00000072*2*3.14*100

= 0.00000072*628 = 0.00045 kgm^2／s 或Nms

轉動動能

Er = 1/2ⷉ 2 = 1/2ⷨ2/3㗰.0027㗰.02㗰.02)*(2*3.14*100)2

= 0.5㗰.00000072*628*628 =0.142 J

乒乓球總動能 Ek = Et + Er = 1/2 mv2 + 1/2 J = 0.54+0.142 = 0.682 焦耳

從以上計算可以看出，球速10米的平動動能與轉速97轉的轉動動能數值基本相等，均約為 0.135焦耳。本假設20米球速與100轉轉速的動能之比約為4比1。因為平動與轉動在速度、方向、力量、力矩、轉動慣量、加速度等方麵的直接比較有一定困難，以往的研究對此關注甚少，幾為空白。其實，擊球力量如何在出球的平動和轉動之間合理分配值得關注。

建議增加一個新名詞----“平/轉比”。以動能之比對乒乓球兩種最重要的運動形式進行直接比較。此值可以幫助我們更好理解擊球時的平動與轉動的關係。從此值大小也可以讓我們對球的運動狀態有較全麵的了解，一目了然。物理量“平/轉比”與擊球術語打摩比有幾分關係，但其優點是可以定量計算，而打摩比隻能停留在憑感覺定估計的水平。另外，打摩比指的是擊球動作在擊打與摩擦之間的比例控製，著眼點是擊球者的分寸把握；“平/轉比”指的是球的平動與轉動動能之比，著眼點是乒乓球的運動狀態，是打摩的實際效果。

4 擊球瞬間（1毫秒）各物理量的參考值

(1) 球拍揮動距離 15*0.001 = 0.015米 = 15毫米

(2) 乒乓球飛行距離 20*0.001 =0.02米 = 20毫米

(3)擊球全程球的平均加速度（假設對心彈碰撞）

a=(vt-v0)/t =(20-(-16))/0.001 = 36000m/s^2

(4) 球對拍的衝擊力或球拍的擊球力（假設對心彈碰撞）

F=ma=0.0027*36000=97.2牛（kgm/s^2）

(5) 衝量（假設對心彈碰撞）

F=m(vt-v0)=0.0027*(20-(-16))=0.0972Ns

(6) 擊球全程平均角加速度（假設偏心斜碰撞）

=(-)/t=(2*3.14*100- -2*3.14*80)/0.001 = 1130400 = 113萬rad/s^2

假設套膠壓縮AB期耗時0.3ms，假設套膠反彈BC期耗時0.7ms，反拉弧圈。